Problemstilling

Bilag til Centicubes og tal

Her kan du hente de bilag, du skal bruge til oplægget 'Centicubes og tal'.
 

Lærervejledning

Forberedelse:

Eleverne skal have mulighed for at bruge

  • centicubes
  • bilag 1: Kvadrater og kuber
  • ternet papir og isometrisk papir til at tegne figurerne på.


Faglige fokuspunkter:

Set fra et kompetenceperspektiv er det især ræsonnements- og symbolbehandlingskompetencen, der kan komme i spil. Eleverne skal ræsonnere sig frem til, hvorfor der er forskel på antallet af mulige rektangler og kasser. I forbindelse med sammenhænge mellem kvadraternes arealer og kubernes rumfang kan eleverne bruge variable til at generalisere.

Oplægget har især fokus på områder inden for tal og algebra som fx at anvende de reelle tal, arbejde med forandringer med henblik på at generalisere, forstå og anvende matematiske udtryk, hvori der indgår variable. Det spiller sammen med dele af geometrien, der handler om at kende og anvende forskellige figurers egenskaber og gengive algebraiske sammenhænge i en geometrisk repræsentation.
Oplægget giver eleverne mulighed for at undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere.



Ideer til udfordringer og støtte:

Antallet af rektangler til et givet antal centicubes er knyttet til divisorerne i det tal, der svarer til antallet. Fx er det med 6 centicubes muligt at bygge rektangler med sidelængderne 1x6 og 2x3, idet tallet 6 har divisorerne 1, 2, 3, 6. Når eleverne skal forklare sammenhængen, kan de ud fra en tabel overveje: Hvorfor er det nogle gange kun muligt at fremstille et rektangel? (Et antal svarende til et primtal). Hvor mange rektangler er det muligt at fremstille, hvis der er et antal centicubes svarende til et kvadrattal? (2 rektangler).
Når eleverne skal undersøge tallene mellem 1 og 50, kan de anvende forskellige strategier. Nogle kan på forhånd udelukke nogle tal - fx primtallene og ulige kvadrattal. Andre vil prøve sig frem og ”starte fra en ende” med hhv. 1, 2, 3, 4 ..., og de opdager måske, at divisorerne ”hænger sammen to og to”. I forbindelse med 6 centicubes, ”hænger 1 og 6 samt 2 og 3 sammen”. Tallet 36 har flest divisorer (9). Nogle elever har brug for ideer som fx ovenstående til at systematisere deres undersøgelse. Når eleverne skal arbejde med ”kasse-tal”, kan de bruge deres erfaringer fra arbejdet med ”rektanglerne”.
Differensen mellem arealet af to kvadrater er et ulige tal. Nogle elever vil kunne give en visuel forklaring på sammenhængen mellem sidelængden og antallet af centicubes, der skal tilføjes. Andre kan udfordres algebraisk med at argumentere for, hvorfor (n+1)2 udtrykker arealet på et kvadrat, der følger efter kvadratet med sidelængden n og arealet n2. De kan undersøge differensen mellem (n+1)2 og n2 og argumentere for, hvorfor 2n+1 er et udtryk for et ulige tal, og hvordan udtrykket kan bruges til at beregne, hvor mange centicubes der skal lægges til for at få arealet af det kvadrat, der følger lige efter.
Man kan finde antallet af centicubes, der skal lægges til en kube med sidelængden n for at få rumfanget af næste kube i rækkefølgen, ved at tænke, at der lægges et ’lag’ på toppen svarende til n2, dernæst et ’lag’ på siden svarende til n(n+1) og til sidst et ’lag’ på ”bagsiden” svarende til (n+1)2. I alt bliver det n2 + n(n+1) + (n+1)2.

Eleverne kan evt. udfordres med at finde andre sammenhænge mellem figurer, der vokser på en bestemt måde.